~落書き帳「○△□」~
前回の結果、
辺の長さが AB=a, BC=b, CD=c, DA=d (定数)の四角形ABCDのうち、面積が最大となるのは「四角形が外接円を持つ」場合であり、その面積の最大値 S は
16S²+(a²+b²-c²-d²)²=4(ab+cd)²
を満たすことが分かりました。これを S² について解いてみましょう。
16S²=4(ab+cd)²-(a²+b²-c²-d²)²
={2(ab+cd)+(a²+b²-c²-d²)}{2(ab+cd)-(a²+b²-c²-d²)}
={(a+b)²-(c-d)²)}{-(a-b)²+(c+d)²)}
=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)
あれれ? なにやら「ヘロン」さんの面影が見えますよ。こうなったら、一本道。
間髪を置かず、a+b+c+d=2s と置く?ところです。すると、
16S²=(2s-2d)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)
タ~~♪ラララ~♪ラ~~♪ラ~~♪…、エドワード・エルガー作曲『威風堂々』(20世紀)の旋律に乗って、「ブラーマグプタ」さんが7世紀のインドから雄姿を現しました。
S²=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d), a+b+c+d=2s