~落書き帳「○△□」~
前回の塩釜神社算額問題を解いてみましょう。
四角形ABCDにおいて、
AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, ∠ABC=θ, ∠CDA=φ
とし、面積を S と置きます。
もし、四角形の内角に180°を超えるへこみがあれば、そこをポコンと外側に押し出すことで面積は大きくなります。したがって題意より、内角がすべて180°未満の凸四角形としてよいことになります。そこで図のように2つの三角形に分けて考えましょう。
S=(1/2)absinθ+(1/2)cdsinφ …①
また、余弦定理(AC²=)から
a²+b²-2abcosθ=c²+d²-2cdcosφ …②
②の等式から、φ は θ の関数であり、S もまた θ の関数です(θ を決めれば、四角形ABCDは決定)。
①、②から
dS/dθ=(1/2)abcosθ+(1/2)cdcosφ・(dφ/dθ)
2absinθ=2cdsinφ・(dφ/dθ)
両式から dφ/dθ を消去して、dS/dθ=(ab/2sinφ)sin(θ+φ)
ブラーマグプタの影が見えてきました。