~落書き帳「○△□」~
正10角形を例に、最小個数の菱形による分解を調べてみましょう。以前の言い方をすれば、正10角形と菱形族の辺長がみな等しいときです。
分解の仕方(文様)は一通りではありません(何通り?)。
しかし、上図の色分けで分かるように、(36°, 144°)と(72°, 108°)の2種類の菱形が5個ずつ、計10枚使われていることは共通しています。
その事情は、どの菱形も2組の平行な対辺からなることと、それぞれの対辺と辺を共有する菱形の帯を観察するだけで理解できますね。どの菱形も、その2組の対辺と正10角形の2組の対辺が1対1に対応しています。したがって、菱形の総数は組み合わせの数 (10/2)C2 に等しくなります。
正12角形の場合、
(30°, 150°)、(60°, 120°)、(90°, 90°)
の3種類の菱形が、この順で
6個、6個、3個
計15個(=(12/2)C2)使われています。
(分解の仕方(文様)は何通り?)