~落書き帳「○△□」~
「辺長1の正 n 角形のトレイ」作り。n=4, 6, 8 の場合が済みました。次は n=10 と行きたいところですが、面積から見当をつける方法だと難しそう。
そこで、今回は n=12:正12角形のトレイを考案することにします。
正12角形の一外角は 360°/12=30°ですから、前回同様、正12角形の少なくとも1頂点に(30°, 150°)の菱形がピタリとはまらなければなりません。
辺長1の正12角形の面積 : S(12)=(12/4)cot(180°/12)=3cot(30°/2)=3(2+√3),
辺長1で、内角(30°, 150°)の菱形の面積 : T(30°)=sin(30°)=1/2
S(12) には√3が含まれますから、T(60°)=(√3)/2 もありそう。
すると、面積の上では S(12)=6+6T(60°) ですから、残りの「6」を T(30°) が受け持つことになります。とすれば、(60°, 120°)と(30°, 150°)の菱形が6個ずつ、ということになるのでしょうか。やってみなければ分かりませんね。
試してみると、2種類の菱形だけではどうしても行き詰ります。上の図はその2つの例ですが、(90°, 90°)の菱形(正方形)の協力が必要となりました。
現れる文様は違うのですが、いずれも
S(12)=6+6T(60°)=3+6×(1/2)+6T(60°)=3T(90°)+6T(30°)+6T(60°)
となって、(60°, 120°)と(30°, 150°)の菱形が6個ずつと、(90°, 90°)の正方形が3個使われました。
右の図は、線対称性を持つ文様で作った正12角形のトレイです。「2020」が見えましたか?