~落書き帳「○△□」~
前回紹介した『数学のひろばⅠ』の問題には、類題がいくつか添えられていました。
「ある数 n に対して、n! を10進法で表せば下5桁に 0 がちょうど5個ある
ということは可能でしょうか」
n! のしっぽに連なる 0 の個数:[n/5^1]+[n/5^2]+[n/5^3]+…… は、
n が増加すれば増えてゆきます。また、
24! では、[24/5^1]=4 個、 25! では、[25/5^1]+[25/5^2]=6 個
したがって、答えは「不可能」です。
さらに続く次の問題が、落書き「259」で紹介した「おまけ」のヒントになっています。
「もしある数が奇数個の約数をもっていたら、その数は完全平方(ある自然数の 2 乗)
であることを示しなさい」
念のために、「おまけ」問題も再掲しておきます。
「古い城館にながいながーい廊下があり、閉じた扉がずらっと無限に並んでいます。一方、
廊下の端に無限人の執事がかしこまっております。執事たちは次々に廊下を通り、n 番の
執事はn 番ごとの扉を調べては、それが閉じていれば開け、開いていれば閉じてゆきます。
全員通り過ぎたのち、どの扉が開き、どの扉が閉じているでしょうか?」