~落書き帳「○△□」~
落書き「300」に現れた Fibonacci Garden。
Hans Walser は、この台形の連鎖について次のような分析をしています。
ただし、「300」では第 n 世代の台形の上底を an としましたが、これを fn と書き直します。
第 n 世代の台形(左の図)において、面積を Sn とすると、
Sn=(1/2)(fn+fn+2)・{(√3)/2}fn+1
ところで、正六角形プールとその周りの正方形から最初に生まれるのは、辺長1の正三角形です。これを彼は第0世代と考えました。
すなわち、第0世代の台形は、
上底=0(=f0), 脚=1(=f1), 下底=1(=f2)
であり、S0=(√3)/4
比をとると、Sn/S0=(fn+fn+2)fn+1
この値は、Binetの公式(ドゥ・モアヴル‐ビネの公式)により「f2(n+1) に等しい」としていますが、fn の加法定理:fn+m=fmfn+1+fm-1fn (n=1, 2, 3, …) からも得られます。