~落書き帳「○△□」~
落書き「301」の続き。Hans Walser はフィボナッチ台形の対角線も調べていて、嬉しくなります。
第n世代の台形(左の図)において、対角線の長さを Tn とすると、
Tn²=fn+1²+fn+2²-fn+1fn+2
したがって、第 n 世代の台形では、
{(対角線)/(脚)}²=Tn²/fn+1²
=1+(fn+2/fn+1)²-(fn+2/fn+1)
が成り立つので、n → ∞ のとき、
{(対角線)/(脚)}² → 1+τ²-τ=2
よって、対角線の長さは限りなく脚の長さの(√2)倍に近づきます。(τ=(1+√5)/2)
右の図は、究極の黄金台形。したがって、対角線の長さは脚の長さのちょうど(√2)倍です。
この見事な結果に、Hans Walserは ∞ 世代の夢のリースを捧げました。