~落書き帳「○△□」~
「ES(4)=?」、すなわち
「(平面上の)N 個の点のどのような一般の位置の配置においても、その中に
凸四角形を作る4個の点が存在するための N の最小数 ES(4) は?」
前々回、ES(4)>4 を示しました(図2)。そこで、点を5個取って調べてみましょう。
発泡スチロールのボード、虫ピン、糸を用意してください。
まず、ボードの表面に5個の点を「一般の位置」に取って、そこに虫ピンを刺します。
それから、糸を輪にして虫ピン全体を取り囲み、ピンと引っ張ります。時代劇でいう「お縄」です。このとき、糸が作る多角形の形で場合分けしてみましょう。
ただし、二角形?(図3-1)は除外します。仮にこうなったとすると、5本のピンは一直線に並んでいるはずです(図3-2)。これは「一般の位置」に反します。
(1)三角形(図4-1)の場合……頂点の3個を除く2個の点は、三角形の内部にあります。
このとき、この2点を通る直線によって三角形の頂点は1個と2個に分かれ、
2個の側に凸四角形ができます(図4-2)。