~落書き帳「○△□」~
3辺の長さが整数で、120°の内角を持つ三角形。落書き「24.七五三(753)三角形」~「28. アイゼンシュタイン三角形」で取り上げましたが、『創作数学演義』にも載っていました(この本では「アイゼンスタイン」)。
主題は、内角の一つが60°の『ナゴヤ三角形』(一松先生の戯称、落書き「27.料理で数学しよう」)。話題の中心はナゴヤ三角形の表現にありますが、ここでは、一緒に扱うと便利なアイゼンスタイン三角形についての「余興」を問題の形で紹介します。
「3辺の長さが BC=a, CA=b, AB=c で、∠BCA=120°のアイゼンスタイン三角形
において、等式
a²+ab+b²=c²
が成立するのは余弦定理から明らかですが、定理を用いずに幾何学的に証明してください」
【翁の呟き】(説明図を睨んで)
この手法はどこかで見たぞ。三角形の各辺の外側に正三角形を作っている…