~落書き帳「○△□」~
前回「227」の(*)式は任意の△ABC で成立し、ここから「ヘロンの公式」
S=(1/2)√{s(s-BC)(s-CA)(s-AB)} [2s=AB+BC+CA]
が導かれます。したがって、直接この公式を用いる手もありました。
今回は、直交座標で3直角四面体OABC を測ってみましょう。
O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)
とします。
3点A, B, C を通る平面の方程式は x/a+y/b+z/c=1。
よって、原点O から△ABC に下した垂線の長さは 1/√{(1/a)²+(1/b)²+(1/c)²} であり、
3直角四面体OABC の体積 (1/6)abc が、△ABC の面積 S を用いて表せます。
(1/3)×S×1/√{(1/a)²+(1/b)²+(1/c)²}=(1/6)abc
これより、
S=(1/2)abc√{(1/a)²+(1/b)²+(1/c)²}
=(1/2)√(b²c²+c²a²+a²b²)
が導かれ、デカルト・グアの定理
S1²+S2²+S3²=S²
が再び示されました。