~落書き帳「○△□」~
落書き「220」~「221」に登場した三角形ABC は、
辺長 (7,15,20) だけでなく、面積(S=42)も整数の「ヘロンの三角形」でした。
「ピタゴラスの三角形」(m²-n², 2mn, m²+n²)はすべてこの仲間ですから、
たとえば、我らがアイドル「みよこさん」(3,4,5) をガリバーのように相似拡大して (9,12,15) と (12,16,20) を作り、直角の頂点と辺長 12 の辺を合わせると、重なっていない (12,16,20) の部分に (7,15,20) ができます。
面積も整数引く整数ですから、整数になりますね(96-54=42)。
さて、三角形の面積は
S=r × s=rA × (s-a)=rB × (s-b)=rC × (s-c)
でしたから、ヘロン三角形では内接円と3つの傍接円の半径はすべて有理数です。それだけでなく、外接円の半径 R も有理数となります。なぜなら、
S=(1/2)absinC=(1/2)ab{c/(2R)}=abc/(4R)
という等式が成り立つからです。
ここで、「みよこさん」に再登場願いましょう。
落書き「214」でも触れましたが、(3,4,5) の場合は s=6, S=6 ですから、
r=1, rA=2, rB=3, rC=6, (2R=5)
これを前回のように曲率にすれば、
1=1/2+1/3+1/6
が成り立っていて、1 の単位分数表現が得られます。
「6」は完全数でした。その証し:6=3+2+1 を 6 で割ったものですね。